Đại số cơ sở

Bất chợt lướt qua một số tài liệu rất cơ bản, mình đặt vài câu hỏi khá cơ bản nhưng lụt lọi trong đầu mà không thể nào lý giải. Do đó trong topic này, tôi sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính.

Từ Đại số cơ sở được nhái theo “Giải tích cơ sở”.Những câu hỏi đặt ra cũng dính dánh phần nhiều đến giải tích (Giải tích hàm). Và tôi bất chợt nhớ đến câu: ” GTH là một phiên bản tổng quát hóa của đại số tuyến tính.”

Như vậy, trong bài viết này, tôi sẽ trình bày những kiến thức cơ sở của đại số tuyến tính liên quan giải tích cơ sở, giải tích hàm như cơ sở, các phép toán trong các tọa độ khác nhau, biến đổi tọa độ, tọa độ cong, tensor,  …

Tài liệu tham khảo chính cho bài viết http://www.math.byu.edu/~klkuttle/547curvilinear.pdf

Posted in Algebra. 1 Comment »

One Response to “Đại số cơ sở”

  1. vanchanh123 Says:

    Xét không gian vector đơn giản nhất là không gian hữu hạn chiều R^3.

    Theo định nghĩa không gian hữu hạn chiều, n chiều, ta sẽ có cơ sở gồm n vector cơ sở (để có định nghĩa cơ sở, trước hết ta cần khái niệm tập sinh và khái niệm độc lập tuyến tính). Mọi cơ sở đều gồm đúng n vector. Một lưu ý khác: cơ sở của không gian Hilbert liên quan đến cơ sở tối đại, liên quan cơ sở trực giao (kiểm tra lại và bổ sung một cách chính xác sau).

    Bằng định lý tồn tại cơ sở, thông qua chứng minh của nó, ta có một cách xây dựng cơ sở cho không gian hữu hạn chiều (ý tưởng này cũng được dùng trong chứng minh định lý Hahn Banach).

    Ta nói {a}_1, a_2, a_3 là một cơ sở của không gian R^3 nếu mỗi vector v trong R^n đều tồn tại duy nhất bộ số \alpha_i, i= \overline{1,3}: v = \alpha_i a_i (trong biểu thức đã chứa ký hiệu tổng).
    Ta sẽ đưa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một bộ ba vector có là cơ sở hay không? Và từ đó, ta sẽ có được các vector i, j, k, các vector đơn vị trong tọa độ Descartes là một cơ sở của không gian R^3.

    Định lý:

    Do tính độc lập tuyến tính của cơ sở nên với một cơ sở e_1, e_2, e_3 cho trước, mỗi vector v \in \mathbb{R}^3, tồn tại duy nhất bộ ba số v^{(1)}, v^{(2)}, v^{(3)} sao cho
    v=\sum_{i=1}^3 v^{(i)}e_i.

    Thay vì làm việc với vector, ta sẽ làm việc với các thành phần tọa độ của vector đó. Do mỗi vector là tổ hợp tuyến tính của các vector cơ sở trên $latex\Phi = \mathbb{R}$ hoặc \mathbb{C}, nghĩa là ta chỉ cần làm việc trên số thực hoặc số phức. Một vấn đề cần bàn là tại sao “hầu hết mọi thứ” ta đều có thể cùng biểu diễn trên hệ trục \mathbb{R}^n nhưng về mặt bản chất (ý nghĩa vật lý chẳng hạn vận tốc và gia tốc cùng dùng một hệ trục tọa độ, nghĩa là “cùng cơ sở” [Tham khảo thêm tại])

    Tiếp theo, ta sẽ xét đến các khái niệm về tọa độ cong, các phép toán trên đó, các phép biến đổi tọa độ, tensor.


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: