Đánh giá sai số cho các đạo hàm của đa thức nội Suy Hermit

Đánh giá sai số H nội suy Hermit cho f tại hai nút x_0,x_1=x_0+h
Xét x\in [x_0,x_0+h]
Đặt M_4=max_{x\in [x_0,x_0+h]} |f^{(4)}(x)|
Ta có các bất đẳng thức đánh giá sai số sau:
1/ |f(x)-H(x)|\le \frac{h^4.M_4}{384}
2/ |f'(x)-H'(x)|\le \frac{h^3.M_4\sqrt{3}}{216}
3/ |f''(x)-H''(x)|\le \frac{h^2.M_4}{12}
4/ |f'''(x)-H'''(x)|\le \frac{h.M_4}{2}
(Trong tài liệu có nhầm không h^4 )

2 Responses to “Đánh giá sai số cho các đạo hàm của đa thức nội Suy Hermit”

  1. vanchanh123 Says:

    Cm (1)
    Dùng kết quả của thầy :
    f(x)-H(x)=\frac{f^{(4)}(\delta_x)}{(2N)!}W_N^2(x) . Với W_N(x)=\prod_{i=1}^N (x-x_i)

    Ở đây : W(x)=(x-x_0)(x-x_0-h)
    Khảo sát W^2(x) để tìm một chặn trên
    [W^2(x)]'=(2x-2x_0-h)W(x).Ta sẽ thấy x=x_0+\frac{h}{2} là điểm cực đại
    Nên |f(x)-H(x)|\le\frac{M_4.W^2(x_0+\frac{h}{2})}{2.2!}=\frac{M_4.h^4}{384}

  2. vanchanh123 Says:

    2/ |f'(x)-H'(x)|\le \frac{h^3.M_4\sqrt{3}}{216}

    Ban đầu cứ tưởng đaọ hàm thoải mái, cho công thức sai số của f. Và tìm chặn cho [W^2(x)]^{(i)}. Nhưng điều đó không ổn ở :
    \delta_x phụ thuộc vào x. Nên ý đó đã bị phá sản

    Ta tiếp tục dùng đẳng thức ban đầu :
    Khi đó :
    \frac{f(x)-f(y)+H(y)-H(x)}{x-y}=\frac{f^{(4)}(\delta_x).[W(x)]^2-f^{(4)}(\delta_y).[W(y)]^2}{4!(x-y)}

    Tiếp tục:
    |  \frac{f(x)-f(y)+H(y)-H(x)}{x-y}|\le \frac{M_4.|[W(x)]^2-[W(y)]^2|}{4!|x-y|}

    Do -M_4W^2(x) \le f^{(4)}(\delta_x).W^2(x)\le M_4.W^2(x) ,\forall x\in [x_0+x_0+h]
    Cho qua giới hạn : vẫn bảo toàn dấu bdt
    |f'(x)-H'(x)|\le \frac{M_4.[W^2(x)]'}{4!}

    Cũng lý luận tương tự:
    f'(x)-H'(x)= \frac{f^{(4)}(\delta_x(1)).[W^2(x)]'}{4!}
    Đưa đến:
    |f^{(i)}(x)-H^{(i)}(x)|\le \frac{M_4.[W^2(x)]^{(i)}}{4!}
    Nên ta chỉ việc đánh giá [W^2(x)]^{(i)}
    Khảo sát:
    [W^2(x)]''=6x^2-6(2x_0+h)x+6x_0^2+6x_0h+h^2
    Có hai không điểm
    x=x_0+\frac{3-\sqrt{3}}{6}h\\ or x= x_0+\frac{3+\sqrt{3}}{6}h
    Khi đó : Đánh giá được :
    |f'(x)-H'(x)|\le \frac{M_4}{4!}.A.
    Với A=|(\frac{3-\sqrt{3}}{6}).(\frac{3-\sqrt{3}}{6}-1)(\frac{3-\sqrt{3}}{3}-1)h^3| =\frac{h^3}{6\sqrt{3}}
    Nên |f''(x)-H''(x)|\le \frac{M_4.h^3\sqrt{3}}{216}

    Mấy cái kia tương tự

    3/ |f''(x)-H''(x)|\le \frac{h^2.M_4}{12}

    [W^2(x)]'''=12x-12x_0-6h
    4/ |f'''(x)-H'''(x)|\le \frac{h.M_4}{2}
    (Trong tài liệu có nhầm không h^4 )


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: